ДЛЯ УЧИТЕЛЯ.
КЪ ПЕРВОЙ ЧАСТИ.
Грамматическiя упражненiя здесь расположены въ такомъ порядке:
Въ первомъ отделе (I, стр. 1—2) обозначены особымъ шрифтомъ окончанiя винительнаго падежа, когда онъ отличается отъ именительнаго
Во второмъ (II, стр. 2—4) — родительнаго
Въ третьемъ (III, стр 4—6) — дательного
Въ четвертомъ (IV, стр 6—8) — творительнаго
Въ пятомъ (V, стр. 8—10) — предложнаго
Въ шестомъ (VI, стр. 10—21) обозначены все эти падежи
Упражненiя должны состоять въ томъ, чтобы ученикъ составлялъ изреченiя, въ которыхъ употребленъ тотъ или другой падежъ, и чтобы узнавалъ падежи при чтенiи.
Въ седьмомъ отделе (VII, стр 21—30) обозначены окончания родов прилагательныхъ, числительныхъ и местоименiй въ именiтельномъ падеже единственнаго числасреднемъ роде; часто говорятъ: моя ружье, сухая сена и т. п.
Въ восьмомъ отделе (VIII, стр. 30—47) таким же образомъ обозначены окончания родовъ множественнаго числа.
Въ девятомъ отделе (IX, стр. 47—64) обозначены те слова, не имеющiя склоненiя, который всего чаще употребляются какъ наречiя. Наречiя, которыхъ производство трудно, напр. тамъ, когда, и т. п. напечатаны целикомъ особымъ шрифтомъ; въ наречiяхъ, которыхъ производство ясно, напечатаны особымъ шрифтомъ буквы, указывающiя на это производство; напр. такъ, прiятно — отъ такой, прiятный; назадъ, поутру, — отъ на и задъ, отъ по и утро; рядомъ отъ рядъ и т. д.
Упражнения должны состоять въ составлении наречiй и въ узнаванiи ихъ при чтенiи.
—79) назначенъ для упражненiя въ узнаванiи всехъ формъ, указанныхъ въ предъидущихъ отделахъ
————
КЪ ТРЕТЬЕЙ ЧАСТИ. О СЧЕТЕ.
Деленiе есть самое трудное изъ ариөметическихъ деiствiй Но тотъ ученикъ, который понялъ ясно деленiе, уже не найдетъ никакого затрудненiя въ дробяхъ; для того же, который не понялъ деленiя, дроби будутъ всегда непонятны.
Поэтому не торопитесь умноженiемъ, а старайтесь посредствомъ умноженiя уяснить ученику действiе обратное умноженiю деленiе.
Всякое умноженiе представляетъ два случая. 3 × 5 = 1.) 3 раза 5, и 2) 5 разъ 3. Точно также в деленiе всегда представляетъ два случая: 15: 3 = 1.) Сколько разъ 3 въ 15-ти, и 2.) какое число повторится 3 раза въ 15-ти. Если ученикъ привыкнетъ умножать, называя множителя тройками пятериками, восьмериками, и т. д., то и второй, случай деленiя, — какое число повторяется известное число разъ въ делимомъ, — можетъ быть выраженъ для ученика коротко и понятно. Если три пятка составляютъ 15, то ему понятен будетъ вопросъ; чего въ 15-ти три? т. е. пятковъ, или паръ, или четвериковъ?
Эта форма вопроса удобна потому, что она коротка и ясна для ученика (незнающаго еще деленiя); въ особенности же потому, что только эта форма вопроса соответствуетъ деленiю дробей 1/3: 4/ Нельзя сказать,сколько разъ 4/5 въ 1/3, ибо очевидно — ни разу. И нельзя сказать: разделить 4/5 на 1/3 часть. Оба вопроса не имеютъ смысла. Но какъ при 15: 3 мы говоримъ: 15 есть три чего? или три какого числа? — такъ и при 4/5: 1/3 можно сказать: 4/5 есть одна треть чего? или какого числа? Точно также и при помноженiи дроби на дробь, 3/5×2/3, нельзя сказать: повторить 3/5 тыхъ 2/3 × 3 мы говоримъ: три пятка или пять троекь сколько будетъ? — такъ и при 3/5 × 2/3 можно сказать: две трети трехъ пятыхъ сколько будетъ? Въ отделе дробей объ этомъ говорено подробнее, теперь же упоминаю для того, чтобы учитель не прошелъ безъ вниманiя принятую мною форму вопроса.
При умножении всегда два случая, и всегда предоставленъ выборъ брать тотъ или другой, смотря по удобству; точно также, и при деленiи. Положимъ задано: 50 × 2, или 100: 2; всегда выбирается второй случай какъ при умноженiи, такъ и при деленiи, т. е. всегда берется два раза 50, а не 50 разъ два, и всегда отъискивается чего 2 въ 100, а не сколько разъ 2 въ 100.
Такъ точно и при дробяхъ, смотря по отношенiю множителя и множимаго, и делимаго и делителя, избирается 1-й или 2-й случай. И ученикъ долженъ владеть искусствомъ выбирать тотъ или другой случай, и обращаться съ темъ и съ другимъ.
Самое же деленiе, т. е. разложенiе числа на части, есть одинъ изъ прiемовъ совершать, действiе отъисканiя множителя, изображаемое знакомъ (: ) и неточно называемое деленiемъ.
Обыкновенно, при деленiи целыхъ чиселъ, деленiемъ на части совершенно заменяютъ действiе (: ) отъисканiя другого множителя — когда данъ одинъ и темь правда облегчаютъ пониманiе деленiя целыхъ чиселъ, но совершенно уже лишаютъ ученика возможности понять сущность действiя деленiя при дробныхъ числахъ.
————
Советую не торопясь упражнять ученика всегда вместе въ умноженiи и въ обратномъ деленiи небольшихъ чиселъ, называя множителя пятками, дюжинами, семериками, — хоть бы даже и восемнадцатериками и двадцатиоднориками.
Предоставляйте ученику при умноженiи выбирать, какого множителя онъ хочетъ повторять. И заставляйте потомъ повторять другаго множителя. Упражненiя эти полезны для прiученiя ученика къ быстрому счету.
————
Потомъ покажите ученику прiемъ ускоренiя действiя умноженiя и делэнiя посредствомъ удвоенiя множителя и делителя.
Изученiе таблицы умноженiя я считаю не только безполезнымъ, — такъ какъ при частомъ упражненiи ученикъ скоро составляетъ себе каждый свою таблицу, — но даже вреднымъ, потому что знанiе наизусть произведенiя затемняетъ ходъ вычисленiя.
При умноженiи показанъ прiемъ удвоенiя лишнiй разъ и потомъ вычитанiе линшняго раза. Такой же обратный примеръ можно показать и при деленiи.
————
Потомъ покажите ученику прiемъ ускоренiя счета посредствомъ повторенiя десятками, сотнями, тысячами и т. д.
При помноженiи и деленiи многоразрядныхъ чиселъ однихъ на другiя не говорите ученику правила о прибавленiи нолей отъ множителя къ произведенiю; но всякiй разъ заставляйте его соображать, сколько выйдетъ какихъ разрядовъ при повторенiи однихъ числомъ другаго. При этомъ заставляйте, его называть числа какъ ему удобнее: десятками, сотнями, тысячами, и ставить значекъ на томъ разряде, который онъ называетъ
При такомъ прiеме умноженiе многоразрядныхъ чиселъ делается легко.
Положимъ дано помножить:
× 7815.
Ученикъ говоритъ: триста тысячъ разъ семь чего-то будетъ = два миллiона сто тысячъ чего-то
При этомъ прiеме уничтожается одна изъ главныхъ трудностей при обученiи деленiю, состоящая въ томъ, чтобы знать, чемъ задаваться.
837655 на 417
Ученикъ говоритъ: на 417 частей по скольку я положу на часть? По десятку ли, по сотне ли, по тысяче ли? Онъ говоритъ: если положу по 10 на часть, достанетъ ли десятковъ? Сколько десятковъ въ делимомъ? 83765 десятковъ. Достанетъ. Достанетъ ли сотенъ? Сотенъ 8376. Достанетъ. Достанетъ ли тысячъ? Тысячъ 837. Достанетъ. Онъ беретъ тысячи на часть. А потомъ уже соображаетъ, сколько тысячъ на часть.
————
Потомъ покажите ученику обыкновенно принятый прiемъ умножения и деленiя, и объясните ему выгоду, состоящую въ томъ, чтобы не переписывать два раза числа, которыя приходится складывать. Но въ умноженiи не показывайте ученику прiема пропусканiя нолей въ числахъ, происходящихъ отъ умноженiя чиселъ высшихъ рязрядовъ, и въ деленiи не показывайте ученику прiема писанiя частнаго безъ нолей, а всегда заставляйте выписывать все ноли при умноженiи, и частное заставляйте писать съ нолями и потомъ складывать.
Неясность пониманiя действiй умноженiя и деленiя много зависитъ отъ этихъ ускоренныхъ прiемовъ.
Таблица умноженiя и ускоренные прiемы придутъ сами собой и незаметно.
Задачи № I представляютъ измененiе неизвестнаго. Советую по задачнику или изъ головы выбрать непонятнее задачи и самому изменять ихъ такимъ образомъ для учениковъ, а потомъ заставлять учениковъ самихъ составлять такiя же измененiя задачъ, начиная съ более легкихъ. Напримеръ Отецъ втрое старее сына, сыну 13 летъ; сколько отцу?
Задача № II составлена на такъ называемыя именованныя числа и на такъ называемое тройное правило.
Советую не заставлять учить ни именования числа — какъ особый отделъ, ни тройное правило, — а прямо задавать задачи на именованныя числа и на тройное правило. Именованныя числа трудны только тогда (и безполезны), когда ученикъ при решенiи задачъ въ первый разъ узнае́тъ содержанiе меръ или веса одного въ другомъ; правила только тогда, когда отъ ученика требуется, чтобы онъ решилъ задачу непременно по указанному примеру. Объясненiе этой задачи состоитъ въ томъ, что первая задача, точно такая же, составлена на целыя числа, доступныя ученику для умственнаго вычисленiя.
Советую составлять такого рода задачи и объяснять ученикамъ. Прошу заметить, что трудность большей части задачъ въ задачникахъ состоитъ въ дурномъ языке, которымъ изложены вопросы, и что для того, чтобы ясно изложить задачу, надо надъ ней подумать.
Задача о посеве (IV) поставлена для объясненiя целаго ряда задачъ, въ особенности житейскихъ, где все числа подразделяются на два разряда, имеющiе быть сличены между собой. Кроме того, задачи этого рода подготовляютъ къ веденiю книгъ, и потому советую преимущественно выбирать изъ задачниковъ и составлять изъ головы задачи такого рода.
————